** Suite récurrente linéaire d'ordre 2

  Soit \(\left(u_{n}\right)\)  la suite définie par `u_0=0` , `u_1=7`  et, pour tout \(n\in \mathbb N\) , par \(6u_{n+2}=2u_n-u_{n+1}\) .

1. Calculer `u_2` .

2. Soit `\left(s_{n}\right)`  la suite définie pour tout entier naturel  `n` par `s_n=3u_{n+1}+2u_n` .
    a. Démontrer que la suite `\left(s_{n}\right)`  est géométrique de raison \(\dfrac {1}{2}\) . Préciser son premier terme.
    b. En déduire, pour tout entier naturel  \(n\) , l'expression de `s_n`  en fonction de `n` .

3. Pour tout entier naturel  `n` , on pose `v_n=u_n-2u_{n+1}` .
    a. Démontrer que la suite `\left(v_{n}\right)`  est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
    b. En déduire, pour tout entier naturel  \(n\) , l'expression de `v_n`  en fonction de `n` .

4. Déduire des questions 2.b. et 3.b. que, pour tout entier naturel \(n\) , \(\) \(u_{n}=6\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}-6\left(\dfrac{-2}{3}\right)^{n}\) .

5. Déterminer la limite de la suite \(\left(u_{n}\right)\) .